Předesílám, že nejsem ani lékař, ani datový analytik. Učím teoretickou informatiku a mým posláním je vysvětlovat studentům těžko pochopitelné věci. V posledních dnech, když si přečtu zprávy nebo kouknu na Facebook, zažívám stejné pocity, jako když stojím před třídou plnou studentů, kterým jsem už pošesté něco vysvětlil a oni to pořád nechápou. V takové chvíli přemýšlím, jestli jsou opravdu tak hloupí, nebo jestli bych měl spíš já vrátit svůj pedagogický diplom. Ale pak tyto úvahy rychle zaženu, nadechnu se, vydechnu a dám tomu ještě sedmý pokus.
Být učitel je zkrátka poslání. Věřím, že pochopit, co se tady děje, mají právo všichni. I ti, kteří si v matematice posílali milostná psaníčka místo toho, aby dávali pozor. Stejně jako zdravotníci léčí každého člověka. I toho, který je po infarktu, má nadváhu, a přesto si před týdnem užil skvělou párty s kolegy, kde jenom pár lidí kašlalo. A teď jim ho přivezli s covidem.
Pokusím se tedy vysvětlit, proč nákaza, které si 9 z 10 lidí ani nevšimne, je vážnou hrozbou pro zdravotnictví, a tedy pro nás všechny. A proč i výzvy vědců, podepsané uznávanými autoritami svých oborů, docházejí ke zcela protichůdným závěrům. Jedni říkají, že nemáme panikařit, že se nic neděje. Druzí očekávají kolaps zdravotnictví a smr tisíců lidí.
V případě šíření epidemie totiž vůbec nejde o to, zda má člověk lékařský diplom, ale o to, zda pochopil matematiku, konkrétně exponenciální funkce. Zubaři, kardiochirurgové, rehabilitační specialisté, a nakonec i praktičtí lékaři celý život léčí jednotivé pacienty. Ke svojí práci nepotřebují přemýšlet o zdravotnickém systému jako celku a nelze jim tak mít za zlé, že mnohdy "pro stromy nevidí les". O něco více zarážející je to u primářky oddělení infekčních chorob, ta by ten les vidět měla. Byl to právě tento rozhovor, který ve mě evokoval zmíněný pocit bezmoci "jak to, že to pořád nechápou?" a přiměl mě k napsání tohoto článku.
Záludnost exponenciálního růstu
Když vysvětluji studentům exponenciální růst, používám k tomu legendu o tom, jak keralský král prohrál šachy s převlečeným bohem Krišnou. Odměnou za výhru měla být rýže - na první políčko šachovnice jedno zrnko, na druhé políčko dvě zrnka, na třetí čtyři zrnka, a tak dále, na každé políčko vždy dvojnásobek toho, co je na políčku předchozím.
Podle legendy se král výherci vysmál, nechal přinést pytlík rýže a vyplatit odměnu. Následující obrázek, který studentům promítnu, ukazuje, jak rychle počet zrnek roste. Pytlík, kde je kilo rýže, dojde před koncem druhé řady, na poslední políčko už bude potřeba další kilo rýže.
Ale zdvojnásobování je fakt potvora, a i kilové pytlíky brzo přestanou stačit. Na poslední políčko čtvrté řady už budou rýže potřeba dva kamiony. Pořád se můžeme uklidňovat tím, že dva kamiony přece nejsou zas tak moc, že už jsme v půlce šachovnice. Ale kdo si všimne, že na posledních políčcích každé řady bylo napřed 128 zrnek, pak kilo, pak čtvrt tuny a teď dva kamiony, už zavětří problém. Na konci další řady bude potřeba zhruba čtrtina roční spotřeby celé ČR, pak zhruba celá roční spotřeba Evropy. Na konec předposlední řady potřebujete veškerou rýži vypěstovanou na celé planetě za 2 roky, a na zaplnění posledního políčka by se musela celá planeta skládat půl tisíciletí.
Další těžko pochopitelná záludnost spočívá v tom, že počet zrnek na každém políčku je přesně o jedna větší než počet zrnek na všech předcházejících políčcích dohromady. Kdo tomu nevěří, může si to na první řadě přepočítat. Další fungují stejně.
Souvislost magického R a exponenciálního růstu
Nyní zpět k pandemii koronavirózy. Rychlost růstu exponenciální funkce je vyjádřena tzv. kvocientem. Ten byl v našem případě 2, protože na každém políčku je 2krát více rýže než na předchozím. A možná už vám to připomíná magickou hodnotu R - reprodukční číslo epidemie, které značí, na kolik dalších lidí jeden průměrný nakažený své viry naprská. A skutečně to tak je, pokud by každý nakažený předal nákazu dvěma dalším lidem, máme tu přesně tempo růstu popsané na šachovnici. Můžete namítnout, že reprodukční číslo je u nás výrazně menší než 2, takže příklad se šachovnicí je zbytečně apokalyptický. Jenomže pro každou exponenciální funkci platí, že její hodnota se po konstantním počtu kroků zdvojnásobí.
Když si například uložíte peníze do banky na 15% roční úrok (kéž by taková banka byla), budete mít dvojnásobek za 5 let. A další dvojnásobek za dalších 5 let, jak ukazuje následující tabulka. Těchto 5 let jako by odpovídalo jednomu políčku šachovnice.
U epidemie je doba "úročení" daná inkubační dobou. Pro názornost předpokládejme, že je to zhruba týden. Při reprodukčním čísle 1,15 (to je ten náš 15% úrok) se tak počet nakažených zdvojnásobí každých 5 týdnů. My jsme na tom ve skutečnosti o něco hůře, pro zjednodušení počítejme s reprodukčním číslem 1,41 (tedy s úrokem 41 %). Máme-li tedy 100 nakažených a každý v průměru nakazí 1,41 dalších lidí, budeme mít po týdnu 141 nakažených. A po dalším týdnu to bude 141 x 1,41, což je 200. Ke zdvojnásobení dojde za 2 týdny, což při pohledu na čísla z minulých týdnů není daleko od pravdy.
Už nás tedy nemůže překvapit, že denní přírůstek 100 nakažených na začátku srpna narostl na 200 nakažených v půlce srpna a 400 na konci srpna. Stejným tempem by to pokračovalo na 800 v půlce září, 1600 na konci září, 3200 v půlce října a 6400 na konci října. Jenomže to bohužel nepokračovalo stejným tempem. Reprodukční číslo totiž odráží to, jak se lidé mezi sebou potkávají. A tak, když se všichni vrátili z dovolených a děti začaly chodit do škol, bylo to pro šíření nákazy něco jako bonus - další "dva týdny zdarma". V půlce září jsme tak měli 1600, na konci září 3200 a v říjnu bychom pokračovali na 6400 v půlce a 12800 na konci. Jak víme, na konci října je to opět ještě víc, což svědčí o tom, že reprodukční číslo je vyšší než našich pro názornost zvolených 1,41. Pro celkový pohled to však není podstatné, důležitý je trend. A jestli se křivka počtu hospitalizovaných potká s kapacitou zdravotního systému 7. listopadu nebo 15. listopadu, je už víceméně jedno.
Zatímco exponenciální funkce do nekonečna rostou, u šíření viru to tak není, protože tu nemáme nekonečně mnoho lidí, na které by virus mohl přeskočit. V určitý moment tedy šíření samo zpomalí. Tento moment se odhaduje při promořenosti zhruba 50 % populace, v ČR tedy 5 milionů lidí. Pojďme tedy ještě trochu počítat. Víme, že políčku na šachovnici odpovídá dvoutýdenní oddobí, kdy se počty zdvojnásobí. Taky víme, že počet zrnek na každém políčku je stejný jako počet zrnek na všech předchozích (plus jedna, ale to můžeme zanedbat). Exponenciální růst se tedy zastaví, až se během dvou týdnů nakazí 2,5 milionu lidí. To odpovídá denním přírutkům mezi 150 a 200 tisíci. Pokud by 1 % z nich potřebovalo intenzivní péči, máme to 1500-2000 lidí, které musíte každý den uložit na JIP.
Další velmi záludná věc je zpoždění. Počty pozitivně testovaných dnes odpovídají počtům nakažených před týdnem. Z toho plyne, že dnes přijatá opatření se na každodenně zveřejňovaných číslech projeví až za týden. A tak zhruba týden předem víme, kolik nových pacientů nám přijde do nemocnic, a zhruba dva týdny předem můžeme odhadovat počet zemřelých. Pokud tedy doteď rostly počty nově potvrzených případů, ještě týden porostou počty nově hospitalizovaných. Takže pokud někdo říká, že se za 2 týdny začne situace zklidňovat, a odvolává se u toho na matematický model, měl by k tomu dodat i důležitý předpoklad modelu, a totiž, že počty nových případů začnou klesat. Což zatím nenastalo.
Covid19 přece není vážná nemoc
Byť ani covid není procházka růzovým sadem, ve srovnání se španělskou chřipkou nebo ebolou to vážná nemoc opravdu není. Osm, možná devět z deseti lidí si jí ani nevšimne, "pouze" každý dvacátý musí do nemocnice, a určité procento skončí na JIPce. Kdyby intenzivní péči nedostali, skoro určitě zemřou. Když ji dostanou, mohou přežít. Co si málo lidí uvědomuje, je, že jestli zemřou, anebo přežijí, je z hlediska zahlcení systému úplně jedno. Důležité, je, že každý nemocný 1-2 týdny blokuje lůžko a plicní ventilátor. A nezáleží na tom, jestli jej pak z JIP odešlou domů nebo do márnice. Důležité je pro něj volné místo na JIPce mít, jinak by šel do márnice rovnou. Takže i kdyby to nakonec byla chřipečka se smrtností 0,1 % (jako že není), tak pokud jednotky procent nemocných vyžadují intenzivní péči, systém se zahltí.
Další záludností, která se vzpírá intuici nejen většiny lidí, ale i lékařů zvyklých léčit nemocné, jsou bezpříznakoví nakažení. Nejsou nemocní, nepotřebují žádnou péči, ale virus kolem sebe šíří. A když nebudou doma, naprskají jej na další lidi, kteří už onemocnět mohou. Bezpříznakový přenašeč není nic nového pod sluncem. Nové je to, že každý z nás si musí připustit, že takovým přenašečem může být a že je třeba se kvůli tomu omezit.
Pokud není v nebezpečí jen jednotlivý pacient, ale celý zdravotní systém, nastává chvíle přenechat prostor datovým analytikům, ajťákům a jiným profesím, které mají schopnost podívat se na tento systém jako celkem. Zkusme to tedy s nimi. Bude nám stačit následující obrázek (zdroj), konkrétně linka vyjadřující kapacitu péče osob v těžkém stavu a tmavý graf vyjadřující počet osob, kteří v tomto těžkém stavu jsou:
Někdo by mohlo jásat, že ještě půlka kapacity pro těžké případy je volná. Kdo ale chápe exponenciální růst, tak vidí, že systém je od kolapsu právě tak dlouho, než se počty zdvojnásobí. Tedy zhruba dva týdny.
V tuto chvíli je dobré si opět vzpomenout na šachovnici. Konkrétně na to, že na každém políčku je tolik zrnek rýže, jako na všech předcházejících dohromady. Taky připomeňme, že každé políčko šachovnice odpovídá zhruba dvěma týdnům šíření viru. Takže během každých dvou týdnů přijde do nemocnic přesně tolik nových pacientů, kolik jich tam přišlo od začátku exponenciálního růstu (což bylo někdy na začátku srpna). A taky celkový počet zemřelých se bude každé dva týdny zdvojnásobovat (stačí se podívat na čísla trochu do minulosti - teď jsme na dvou tisících, před dvěma týdny to byl tisíc, před dalšími dvěma týdny pět set). A bude to trvat tak dlouho, dokud bude počet nových případů exponenciálně růst (a nejspíš ještě cca 2 týdny potom).
Kolik lidí tedy musí zemřít?
Nemůžeme nikomu zazlívat, že doteď vážnost situace nepochopil. Exponenciální růst je záludný, skutečně to dlouho vypadá, že se nic závažného neděje. Člověk má navíc přirozeně tendenci popírat existenci vážného problému, zejména pokud jej vládní opatření připravují o živobytí. Navíc jsme permanentně ujišťováni, že náš zdravotní systém je lepší než v Itálii nebo New Yorku a že to zvládneme. Jak ale ukazuje příklad se šachovnicí, žádná země na světě nemá dost rýže na vyplacení výhry. A stejně tak žádná země na světě nemá dost lůžek na JIPkách, aby ustál průchod pandemie koronaviru bez opatření.
Pokud jste dočetli až sem, tak už vás asi výzvy, že bychom se neměli zbytečně děsit, neuklidní. Když hoří dům, tak je potřeba křičet a utíkat. A pak raději skončit na psychiatrii s posttraumatickým šokem, než mít na hrobě nápis "Uhořel v duševní pohodě". Tím nechci říkat, že je dobře, abychom teď všichni byli ve stresu. To určitě ne. Naopak, každý z nás pandemii lépe přečká, když ve stresu nebude. Ale falešný pocit bezpečí vede k tomu, že lidé problém podceňují, dál se mezi sebou potkávají, a proto čísla rostou tak, jak rostou.
Odpověď na otázku v titulku tak může být pořád "jenom" v tisících, pokud začneme zůstávat doma hned. Pokud ale bude každé opatření proti šíření viru znamenat poslední večeři v hospodě nebo poslední nákup v butiku, a doma zůstaneme, až budou v televizi promítat řady mrtvých na chodbách nemocnic, tak to budou desítky tisíc.
Přeji nám všem, abychom brzy pochopili, že je potřeba udržovat sociální distanc. Jenom tak se počty nových případů můžou začít konečně snižovat. Zdravotníkům přeji, aby zůstali zdraví a mohli se o nás starat. Protože k čemu jsou nám stovky ventilátorů, které k nám z celé Evropy proudí, když je nebude mít kdo obsluhovat? Přeji si, aby nám EU a okolní státy pomohly a postaraly se o naše pacienty, i když si to jako stát vůbec nezasloužíme. A přeji si, aby se křivka počtu těžkých případů jenom lehce dotkla kapacity našeho skvělého zdravotního systému, a ne ji významně překročila.
Žádné komentáře:
Okomentovat